DEMONSTRATIVE GEOMETRY

Learning Outcomes:

In this post we discuss the following topics,

Demonstrative Geometry

Types of assumptions

The parts of propositions

What is geometrical theorem

Examples of Axioms

Postulates

Examples of postulates

What is corollary

Converse of a theorem

Demonstrative Geometry: (اثباتی جیومیٹری)

Demonstrative geometry is a branch (شاخ) of mathematics in which theorems (مسائل ) on geometry are proved through logical reasoning. It demonstrates the truth (سچائی ) of mathematical statements concerning geometric figures. 

ریاضی کی وہ شاخ جس میں جیومیٹری کے مسائل  کا حل منطقی استدلال سے معلوم کیا جاے۔اس میں جیومیٹری کی اشکال سے مدد لی جاتی ہے اور ریاضی کے مسائل کی سچائی  کو ثابت کیا جاتا ہے۔

Basics of reasoning

Basics of reasoning in mathematics are: 

(استدلال کی بنیادیں)

Basic Concepts: (بنیادی تصورات) Some concepts are accepted without defining (بغیر بیان کے) them for example point, line or plane. 

بعض اوقات ایسے تصورات ہوتے ہیں جن کو تعریف کے بغیر قبول کر لیا جاتا ہے۔مثلا نقط۔خط اور مستوی

Assumptions: (مفروضے) Some statements (بیانات) are accepted true without proofs. These are called basic assumptions.

کچھ بیانات ایسے ہوتے ہیں جن کو بغیر ثبوت کے درست تسلیم کر لیا جاتا ہے۔ ہم انہیں بنیادی مفروضے کہتے ہیں۔

 Types of Assumptions: (مفروضوں کی اقسام )

Axioms: (اصول متعارفہ)

An axiom is a self-evident truth which needs no proof(جیسے ثبوت کی ضرورت نہ ہو) or demonstration and can be taken for granted.

اصول متعارفہ ریاضی کی تقریبا تمام شاخوں میں مشترک ہوتا ہے اور ایسے بغیر ثبوت کے تسلیم کیا جاتا ہے۔

 Examples of Axioms (مثالیں)

i. A whole (total ) is always greater (بڑا) than its part or a part cannot be equal to the whole.

 ii. Things which are equal (برابر) to the same thing are equal.

 iii. If equals be subtracted from equals, the differences (فرق) are equal.

 iv. Doubles and halves (نصف) of equal are equal.

 

(کل ہمیشہ جزو سے بڑا ہوتا ہے یا جزو کبھی کل سے کے برابر نہیں ہوتا )

( اشیاء  جو ایک ہی چیز کے برابر ہوں آپس میں بھی برابر ہوتی ہیں)

( اگر  برابر میں سے برابر تفریق کیے جایں تو فرق بھی برابر ہوتے ہیں )

( برابر کے دوگنا اور ان کے نصف آپس میں برابر ہوتے ہیں )

Postulates: (اصول موضوعہ)

A postulate is that elementary statement (بیان) which we have to assume while making a demonstration.

 

( ایسے مفروضے جنہیں ابتداء  میں ہی صحیح تسلیم کر لیا جاتا ہے۔اور ان کا تعلق ریاضی کی کسی مخصوص شاخ سے ہو تا ہے۔)

Examples of Postulates : ( مثالیں )

1- A straight line (سیدھی لاین) may be drawn from one point to any other point in the same plane. 

2- We can produce a  infinite(لا متناہی) straight line (سیدھی لاین) to any length in a straight line in either direction.

3- We can cut off (کاٹنا) a straight line of any length from a given straight line either from it or by producing it. 

The magnitude (مقدار) of an angle does not depend upon the length of its arms.

Parts of Propositions : (مسلہ کے اجزا)

A proposition is a declarative sentence (بیانیہ فقرہ) that is either true or false. The various parts of propositions are,

Enunciation: (بیان مسلہ)

It is the statement of a geometrical truth(سچائی ) which we are going to prove. 

ii. Given: (معلوم)

For the sake of convenience (آسانی) and clarity (وضاحت), we first of all put down what is given to us or what is assumed. (فرض کرنا)

iii. To Prove: (مطلوب)

 In this part,we put down what we are going to prove (ثابت کرنا) or establish. 

iv. Construction: (عمل)

 In this part of the proposition (مسلہ), we note down all the additional lines or figures (اشکال) which must be drawn so that, we may be able to arrive at the required result.

 v. Proof: (ثبوت)

In this part, we establish (ثابت کرنا) the truth with a suitable line of reasoning. 

Meaning of a Geometical Theorem, Corollary and Converse of a Theorem 

Geometrical Theorem: (ہندسی مسلہ)

A theorem is that kind of proposition in which we establish (ثابت کرنا) a geometrical truth by means of reasoning with the help of a geometrical figure(ہندسی اشکال). 

(ہندسی مسلہ ایک ایسا بیان ہے جیسے سچائی استدلال اور ہندسی اشکال کی مدد سے ثابت کیا جاتا ہے)۔

Examples of Theorems (مثالیں)

i. The sum of the interior angles (اندرونی زاویے) of a triangle is 180°. 

ii. If two angles of a triangle are congruent(متماثل), the sides opposite these angles are congruent.

 Corollary: (نتیجہ صریح)

A corollary is also a proposition(مسلہ), the truth of which can be immediately drawn from the theorem that has already been proved(پہلے سے ثابت شدہ). 

For example, a theorem in geometry is "The angles opposite two congruent sides (متماثل اطراف) of a triangle are also congruent". A corollary to that statement is that in an equilateral triangle(مساوی الاضلاع مثلث) all angles are congruent.

 Converse of theorem: (عکس مسلہ)

When the 'Given معلوم' of one proposition becomes the 'To Prove مطلوب ' of the other proposition and vice versa, the two propositions are called converse (عکس) of each other.

( اگر کسی مسلہ کے معلوم کو مطلوب کے ساتھ اور مطلوب کو معلوم میں بدل دیا جاے تو نیو مسلہ کو پہلے مسلہ کا عکس مسلہ کہتے ہیں )

 For example the converse of Pythagoras theorem (مسلہ فیثا غورث) is "If the sum of the squares of two sides is equal to the square of the third side of the triangle(مثلث), triangle is a right triangle(قایمہ زاویہ مثلث)".

Pythagoras theorem

Theorems 

Theorem 1:

 If a straight line(خط مستقیم) stands on another straight line, the sum of measures(پیمائش ) of two angles so formed is equal to two right angles. 

(اگر ایک خط مستقیم دوسرے خط مستقیم پر واقع ہو تو اس طرح جو دو متصلہ زاوے بنتے ہیں ان کا مجموعہ دو قایمہ زاویہ کے برابر ہوتا ہے۔)

Corollary: If two straight lines intersect(قطع کرنا) one another, the four angles equal to four right angles. (اگر دو خطوط ایک دوسرے کو قطع کریں تو اس طرح بننے والے چار زاویوں کی مقدار کا مجموعہ چار قایمہ زاویہ کےبرابر ہوتا ہے۔)

Theorem 2: 

If the sum of measures of two adjacent angles (متصلہ زاویے) is equal to two right angles, the external arms (بیرونی بازو) of the angles are in a straight line.

corollary 1: if two straight lines (دو سیدھی لاین) cut one another, the sum of the measures of the angles so formed is equal to four (4) right angles.

Corollary 2: When any number of straight lines (چند سیدھے خطوط) meets at a point, the sum of the consecutive angles (مسلسل تمام زاویے) so formed is equal to four right angles.

Theorem 3:

If two lines intersect (قطع) each other then the opposite vertical angles(متقابلہ راسی زاویے) are congruent.

Theorem 4:

If two sides of a triangle are congruent (متماثل) then the angles opposite (متقابلہ زاویے) these sides are congruent.

Corollary 1: in an equilateral triangle (مساوی الاضلاع مثلث)all angles are congruent.

Corollary 2: The bisector (ناصف) of the vertex angle (زاویہ راس )of an isosceles triangle (مساوی الساقین)  is also the perpendicular bisector of the base of the triangle.

Theorem 5:

The sum of measures(پیمائش کا مجموعہ) of the three angles of a triangle is 180⁰.

Corollary 1: Each angle of an equilateral triangle (مساوی الاضلاع مثلث) is 60⁰.

Corollary 2: In a right angled triangle the acute angles (حادہ زاویے) are complementary.

Have a nice day.