Vector spaces properties

 

PROPERTIES

LET V(F) be a vector space, then

(i). a0 = 0, where a ∈ F, 0 on both sides represent zero vector.

PROOF:

We have a0 = a (0+0) = a0 + a0

or 0 + a0 = a0 + a0

⟹ a0 = 0 by right cancellation law

(ii). 0v = 0, where 0 on the left is scalar and on the right is a zero vector, v ∈ V

PROOF:

0.v = (0 + 0)v

or 0 + 0v = 0v + 0v 

⟹ 0v = 0

(iii). a(-v) = -(av) = (-a)v, where a ∈ F, v ∈ V

PROOF:

we have v + (-v) = 0

therefore   av + a(-v) = a0

or  av + a(-v) = 0

therefore  a(-v) is additive inverse of av

i.e.  a(-v) = -av

Again  (-a)v + av = [ -a + a]v

= 0v = 0

Therefore (-a)v is additive inverse of av

i.e.  (-a)v = -av

Hence  a(-v) = -(av) = (-a)v

(iv). av = 0 ⟹ a = 0 or v = 0

PROOF:

Let av = 0 and a ≠ 0

Then a exists in F , since a ∈ F

Therefore

a⁻¹ (av) = a⁻¹ 0

⟹ ( a⁻¹ a )v = 0

⟹ 1v = 0

⟹ v = 0

Again if v ≠ 0, then

av = 0 ⟹ av = 0v ⟹ a = 0

(v). a(v₁ - v₂) = av₁ - av₂, where a ∈ F , v₁, v₂ ∈ V

PROOF:

a(v₁ - v₂ ) = a[v₁ + (-v₂)]

= av₁ + a( -v₂)

= av₁ - av₂ (since a (-v₂) = - av₂)

(vi). av = bv ⟹ a = b, where v ( ≠0) ∈ F, v, v ∈ V

PROOF:

av = bv ⟹ av + (-bv) = bv + (-bv)

⟹ (a - b)v = 0

⟹ a - b = 0, since v ≠ 0

⟹ a = b

(vii). av₁ = av₂ ⟹ v₁ = v₂ where a ( ≠0) ∈ F, v₁, v₂ ∈ V

PROOF:

av₁ = av₂ ⟹ av₁ + [ -(av₂)] = av₂ + [ - av₂]

⟹ av₁ + a(-v₂) = 0

⟹ a( v₁ - v₂ ) = 0

⟹ v₁ - v₂ = 0, since a ≠ 0

⟹ v₁ = v₂